이 사고력 문제는 단순한 수학 퍼즐이 아니라, 논리적 사고력과 문제 해결 능력을 테스트하는 뇌 자극 퍼즐입니다. 한 번 도전해 보세요.
1. 도입: 논리적 사고와 시간의 불변성을 시험하는 고전 퍼즐
이 퍼즐은 주어진 도구의 불완전함(밧줄의 불규칙한 속도)에도 불구하고, 논리적 사고로 정확한 시간을 측정하는 방법을 생각해 보는 것입니다. 15분을 측정하는 해법과 그 바탕이 되는 수학적 논리로써 해법을 제시합니다.
2. 15분 시간 측정 퍼즐 (문제)
(1) 당신은 긴급한 상황에 있으며, 정확히 15분이라는 시간을 재야 합니다. 당신에게 주어진 도구는 다음과 같습니다.
| 밧줄 A (60분짜리): 불이 붙으면 정확히 60분이 걸려 모두 타는 밧줄입니다. |
| 밧줄 B (60분짜리): 밧줄 A와 똑같이, 전체를 태우는 데 60분이 걸립니다. |
| 라이터 1개 |
(2)핵심 제약 조건: 두 밧줄 모두 타는 속도가 일정하지 않습니다. 따라서, 밧줄의 길이를 재는 것은 의미가 없으며, 눈대중으로 시간을 가늠할 수도 없습니다.
(3) 문제: 이 불규칙한 밧줄 2개를 활용하여 정확히 15분이라는 시간을 측정할 수 있는 방법을 단계별로 설명해 보시오.
3. 핵심 아이디어
(1) 이 문제의 핵심은 밧줄이 불에 타는 속도가 ‘불규칙‘하다는 것입니다. 즉, 밧줄의 길이는 시간과 비례하지 않고, 길이를 반으로 자르거나, 눈대중으로 추측하는 것은 불가능합니다. 그리고, 이 문제는 ‘동시점 점화(simultaneous ignition: 동시에 점화시킨다는 것)’ 원리를 활용하여 해결할 수 있습니다.
(2) 밧줄을 양쪽에서 동시에 태우면, 그 밧줄이 남은 ‘시간’은 절반이 됩니다. 이는 길이가 일정하지 않아도 성립합니다.
(3) 이를 이용하여 60분에서 절반인 30분을 만들고, 또 반복하여 15분을 만듭니다.
4. 단계별 풀이와 답
(1) 동시에 다음을 실행합니다.
⦁ 밧줄 A(첫 번째 밧줄)의 양쪽 끝에 불을 붙입니다.
⦁ 밧줄 B(두 번째 밧줄)의 한쪽 끝에만 불을 붙입니다. 이 때가 0분 시작입니다.
(2) 위의 실행으로 관찰할 수 있는 내용은 다음과 같습니다.
⦁ 밧줄 A는 양쪽에서 타므로 원래 밧줄이 타는 60분의 절반인 30분 만에 완전히 탑니다.
⦁ 밧줄 B는 한쪽에서만 타므로 30분 분량의 밧줄만 타고, 남은 밧줄도 30분의 분량만 남습니다.
(3) 밧줄 A가 모두 탓을 때, 밧줄 B의 반대쪽 끝에도 불을 붙입니다.
⦁ 이 시점에서 밧줄 B의 남은 밧줄은 30분의 분량입니다.
⦁ 이제 밧줄 B의 양쪽에서 동시에 타게 되므로, 남은 30분 분량은 그 절반인 15분만에 모두 타버리게 됩니다.
(4) 따라서 밧줄 B에 두 번째 불을 붙인 순간부터 완전히 탈 때까지의 시간은 15분이 됩니다. 곧 이것으로 정확히 15분을 측정할 수 있습니다.
| 단계 | 실행 | 걸린 시간 |
| 1 | 밧줄 A 양쪽 점화 + 밧줄 B 한쪽 점화 | 0분 시작 |
| 2 | 밧줄 A 모두 탐+ 밧줄 B는 절반만 탐 | 30분 경과 |
| 3 | 밧줄 B의 반대쪽 점화 | 30분 시점 |
| 4 | 밧줄 B 완전히 점화 | 15분 측정 완료 |
(5) 요약: 처음부터 15분을 직접 잰 것이 아니라, 30분 시점부터 15분 구간을 정확하게 만드는 방식입니다. 밧줄 B를 두 번째로 점화한 순간부터 15분을 정확히 측정할 수 있습니다.
원리 설명: 왜 이 방법이 통하는가에 대하여
⦁ 밧줄의 불규칙 연소는 ‘길이 대비 시간’을 알 수 없는 것 뿐입니다. 시간 분량 즉, 밧줄 전체가 타는데 걸리는 시간이 60분이라는 것은 이미 알고 있습니다.
⦁ 밧줄 한 줄을 양쪽에서 동시에 태운다면, 남은 시간은 그 밧줄의 ‘남은 시간의 총량’을 반으로 줄이는 것과 같습니다. 따라서 한쪽에서 태우는데 걸리는 시간인 60분이 절반인 30분으로 줄어듭니다.
⦁ 위의 방법을 이용하면 30분은 절반인 15분을 만들 수 있습니다.
5. 사고력 확장 질문
| 만약 밧줄이 3개라면 10분을 정확히 잴 수 있을까요? |
⦁ 불가능합니다. 왜냐하면, 밧줄이 불에 타는 속도가 ‘불규칙’하기에, 이 문제를 해결하는 숨은 핵심원리는 ‘2의 거듭제곱 형태의 분수 관계’입니다.
⦁ 밧줄을 한쪽에서만 태울 때는 남은 시간이 그대로 유지됩니다. 그리고, 밧줄의 양쪽을 같이 태울 때는 남은 시간의 절반을 잴 수 있습니다.
| 즉, 60분 ⇒ 30분 ⇒ 15분 ⇒ 7.5분 … 이러한 방식으로 시간을 잴 수 있습니다. |
⦁ 밧줄의 개수가 늘어나도 마찬가지로 ‘2의 거듭제곱 형태의 분수 관계’인 시간만 잴 수 있습니다.
⦁ 따라서 밧줄이 1개 늘어난 3개라고 해도 60분의 6분의 1인 10분은 잴 수 없습니다.
6. 마무리
(1) 두 밧줄과 라이터만으로 정확히 15분을 측정하는 방법
| 밧줄 A의 양쪽 점화+ 밧줄 B의 한쪽 점화 ⇒ 밧줄 A가 모두 탔을 때 밧줄 B의 반대쪽에 점화. 이 때부터 시간측정 시작 ⇒ 밧줄 B가 모두 탈때까지의 시간=15분 |
(2) 사고력 확장 문제인 세 개의 밧줄과 라이터만으로 정확히 10분 측정이 가능한가의 여부는 불가능하다라는 논리적 결론이 나왔습니다.
(3) 이 문제를 통해 문제의 조건을 해석하는 논리력과 수학적으로 문제를 해결하는 문제해결력을 키울 수 있다는 것을 알게 되었습니다.
혹시 위의 방법 이외의 다른 방법을 알고 계시다면, 댓글로 그 풀이방법을 공유해 주세요.
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